№ 5. В треугольнике АВС известно, что ∠C=90°, ∠A=60°. На катете отметили точку К такую, что ∠AKC=60°. Найдите отрезок СК, если ВК=12 см.

Ответ: СК = 6 см

1. В треугольнике ABC угол C равен 90°, угол A равен 60°. Тогда угол B равен 180° - 90° - 60° = 30°.
2. В треугольнике AKC угол AKC равен 60°, угол C равен 90°, следовательно, угол KAC равен 180° - 90° - 60° = 30°.
3. Угол BAK равен углу BAC минус угол KAC, то есть 60° - 30° = 30°.
4. В треугольнике ABK угол BAK равен углу ABK (оба по 30°), следовательно, треугольник ABK равнобедренный, и AK = BK = 12 см.
5. В прямоугольном треугольнике AKC, где угол AKC равен 60°, катет CK, лежащий против угла 30° (угол KAC), равен половине гипотенузы AK.
6. Следовательно, CK = AK / 2 = 12 / 2 = 6 см.

Ответ: СК = 6 см