№ 5. В треугольнике MNF известно, что ∠N=90°, <M=60°, отрезок AD- биссектриса треугольника. Найдите катет MN, если FD=20 см.

Ответ: MN = \(20\sqrt{3}\) см

Решение:

1. Угол F равен: \(∠F = 180° - ∠M - ∠N = 180° - 60° - 90° = 30°\)
2. Т.к. AD - биссектриса, то угол AFD = углу NAD = 30°
3. Рассмотрим треугольник AFD. Т.к. углы при основании AD равны, то треугольник равнобедренный, значит AF = FD = 20 см.
4. Т.к. против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы, то MF = 2*MN
5. По теореме Пифагора: \(MN^2 + NF^2 = MF^2\)
6. Выразим NF = AF*cos(30) = \(20*\frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}\)
7. \(MN = NF*tg(30) = 10\sqrt{3}*\frac{\sqrt{3}}{3} = 10\)

Ответ: MN = \(20\sqrt{3}\) см