№4. Через вершину В прямоугольника ABCD проведена прямая МВ, перпендикулярная сторонам прямоугольника ВС и АВ. а) Докажите перпендикулярность прямой CD и плоскости МВС. б) Найдите площадь прямоугольника, если MD = 13 см, МС = 12 см, AD: CD = 8:5.

а) Доказательство перпендикулярности прямой CD и плоскости MBC.

1) Прямая МВ перпендикулярна сторонам ВС и АВ, следовательно, МВ перпендикулярна плоскости ABCD.

2) Прямая ВС лежит в плоскости ABCD, следовательно, MB перпендикулярна ВС.

3) Прямая CD перпендикулярна ВС, т.к. ABCD - прямоугольник.

4) Прямая CD перпендикулярна MB (т.к. MB перпендикулярна плоскости ABCD, а CD лежит в этой плоскости).

5) Прямая CD перпендикулярна двум пересекающимся прямым (МВ и ВС), лежащим в плоскости МВС, следовательно, прямая CD перпендикулярна плоскости МВС.

б) Найдем площадь прямоугольника ABCD, если MD = 13 см, МС = 12 см, AD: CD = 8:5.

1) Пусть AD = 8x, CD = 5x, тогда AB = 5x, BC = 8x.

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник MCD. По теореме Пифагора $$MD^2 = MC^2 + CD^2$$, следовательно, $$(13)^2 = (12)^2 + (5x)^2$$;

$$169 = 144 + 25x^2$$;

$$25x^2 = 25$$;

$$x^2 = 1$$;

$$x = 1$$ см.

3) Следовательно, AD = 8 см, CD = 5 см.

4) Площадь прямоугольника ABCD равна $$S = AD \cdot CD = 8 \cdot 5 = 40$$ см².

Ответ: Площадь прямоугольника равна 40 см².