№2. Точка М, лежащая вне плоскости квадрата ABCD, равноудалена от каждой его вершины на 8√2см. Площадь квадрата 16 см². Найдите косинус угла между прямой МВ и плоскостью квадрата. На какое расстояние точка М удалена от плоскости квадрата?

1) Площадь квадрата ABCD равна 16 см², следовательно, сторона квадрата равна $$a = \sqrt{16} = 4$$ см.

2) Диагональ квадрата равна $$AC = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$$ см.

3) Диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам, следовательно, $$AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$$ см.

4) Точка М равноудалена от каждой вершины квадрата, следовательно, MA = MB = MC = MD = $$8\sqrt{2}$$ см.

5) Проекцией прямой МВ на плоскость квадрата является прямая BO.

6) Косинус угла между прямой МВ и плоскостью квадрата - это отношение прилежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике MBO: $$cos\angle MBO = \frac{BO}{MB}$$

7) Рассмотрим прямоугольный треугольник MBO, MB = $$8\sqrt{2}$$ см, BO = AO + OC = $$2\sqrt{2}+2\sqrt{2}= 4\sqrt{2}$$ см.

8) $$cos\angle MBO = \frac{4\sqrt{2}}{8\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$$

9) По теореме Пифагора $$MO = \sqrt{MB^2 - BO^2} = \sqrt{(8\sqrt{2})^2 - (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{128 - 32} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}$$ см.

Ответ: косинус угла между прямой МВ и плоскостью квадрата равен $$\frac{1}{2}$$, расстояние от точки М до плоскости квадрата равно $$4\sqrt{6}$$ см.