№1. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 8 см. Найдите расстояние между прямыми ВВ, и АС.

Прямые BB₁ и AC — скрещивающиеся. Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра.

1) Прямая BB₁ перпендикулярна плоскости ABCD, следовательно, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе прямой АС.

2) Прямая AC перпендикулярна плоскости BB₁C₁C, следовательно, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе прямой BB₁.

3) Таким образом, расстоянием между прямыми BB₁ и АС будет длина отрезка BO, где O — точка пересечения диагоналей квадрата ABCD.

4) Рассмотрим квадрат ABCD. AC - диагональ квадрата, которая равна $$a\sqrt{2}$$, где a - сторона квадрата. Сторона квадрата равна 8 см, тогда диагональ $$AC = 8\sqrt{2}$$ см.

5) Диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам, следовательно, $$AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$$ см.

6) Так как, диагонали квадрата перпендикулярны, то треугольник ABO - прямоугольный и АВ = 8 см, AO = $$4\sqrt{2}$$ см.

7) По теореме Пифагора $$BO = \sqrt{AB^2 + AO^2} = \sqrt{8^2 + (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{64 + 32} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}$$ см.

Ответ: $$4\sqrt{6}$$ см.