№20. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны 10√2 и образуют с плоскостью основания угол 45°. Найти объем параллелепипеда, если одна сторона его основания больше другой на 2 см.

Решение:

Пусть стороны основания параллелепипеда будут x и x + 2. Диагональ параллелепипеда равна 10√2, а угол между диагональю и плоскостью основания равен 45°. Это означает, что высота параллелепипеда равна проекции диагонали на основание, то есть диагонали основания.

Обозначим диагональ основания как d. Тогда:

\( d = 10\sqrt{2} \cdot cos(45°) = 10\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10 \)

Диагональ основания равна 10 см.

По теореме Пифагора для основания параллелепипеда:

\( x^2 + (x + 2)^2 = d^2 \)

\( x^2 + (x + 2)^2 = 10^2 \)

\( x^2 + x^2 + 4x + 4 = 100 \)

\( 2x^2 + 4x - 96 = 0 \)

\( x^2 + 2x - 48 = 0 \)

Решим квадратное уравнение:

\( D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196 \)

\( x_1 = \frac{-2 + \sqrt{196}}{2} = \frac{-2 + 14}{2} = 6 \)

\( x_2 = \frac{-2 - \sqrt{196}}{2} = \frac{-2 - 14}{2} = -8 \) (не подходит, так как сторона не может быть отрицательной)

Итак, одна сторона основания равна 6 см, другая 6 + 2 = 8 см.

Высота параллелепипеда h равна диагонали основания, то есть 10 см.

Объем параллелепипеда равен:

\( V = x \cdot (x + 2) \cdot h = 6 \cdot 8 \cdot 10 = 480 \)

Ответ: 480 см³