№21. Стороны основания прямого параллелепипеда 7 см и 8 см, угол между ними 60°. Найти площадь большего диагонального сечения, если высота параллелепипеда равна 6√3.

Решение:

Дано: стороны основания a = 7 см, b = 8 см, угол между ними γ = 60°, высота параллелепипеда h = 6√3 см.

Найти: площадь большего диагонального сечения.

Сначала найдем большую диагональ основания (d) по теореме косинусов:

\( d^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(γ) \)

\( d^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot cos(60°) \)

\( d^2 = 49 + 64 - 112 \cdot \frac{1}{2} \)

\( d^2 = 113 - 56 = 57 \)

\( d = \sqrt{57} \)

Площадь большего диагонального сечения равна произведению большей диагонали основания на высоту параллелепипеда:

\( S = d \cdot h = \sqrt{57} \cdot 6\sqrt{3} = 6\sqrt{171} = 6\sqrt{9 \cdot 19} = 6 \cdot 3\sqrt{19} = 18\sqrt{19} \)

Площадь большего диагонального сечения равна \( 18\sqrt{19} \) см².

Далее, найдем сторону равновеликого куба. Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту:

Площадь основания параллелепипеда равна:

\( S_{осн} = a \cdot b \cdot sin(γ) = 7 \cdot 8 \cdot sin(60°) = 56 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 28\sqrt{3} \)

Объем параллелепипеда равен:

\( V = S_{осн} \cdot h = 28\sqrt{3} \cdot 6\sqrt{3} = 28 \cdot 6 \cdot 3 = 504 \)

Объем равновеликого куба также равен 504 см³.

Сторона куба равна корню кубическому из объема:

\( a = \sqrt[3]{V} = \sqrt[3]{504} \)

Ответ: Площадь большего диагонального сечения равна \( 18\sqrt{19} \) см². Сторона равновеликого куба равна \( \sqrt[3]{504} \) см.