№22. (самост.) Высота прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием равна 60см, диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 60°. Найти объем параллелепипеда.

Решение:

Дано: высота параллелепипеда h = 60 см, угол между диагональю и основанием α = 60°.

Основание — квадрат.

Нужно найти объем параллелепипеда.

Пусть сторона основания равна a. Тогда диагональ основания d = a√2.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой параллелепипеда, диагональю основания и диагональю параллелепипеда.

Тангенс угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания равен отношению высоты к диагонали основания:

\( tan(α) = \frac{h}{d} \)

\( tan(60°) = \frac{60}{a\sqrt{2}} \)

\( \sqrt{3} = \frac{60}{a\sqrt{2}} \)

\( a\sqrt{2} = \frac{60}{\sqrt{3}} \)

\( a = \frac{60}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} = \frac{60}{\sqrt{6}} = \frac{60\sqrt{6}}{6} = 10\sqrt{6} \)

Сторона основания равна \( 10\sqrt{6} \) см.

Площадь основания равна:

\( S = a^2 = (10\sqrt{6})^2 = 100 \cdot 6 = 600 \)

Объем параллелепипеда равен:

\( V = S \cdot h = 600 \cdot 60 = 36000 \)

Ответ: Объем параллелепипеда равен 36000 см³.