№1. Для функции f(x) = 2х2+хнайдите первообразную, график которой проходит через точку А(1;2)

Для функции $$f(x) = 2x^2 + x$$ необходимо найти первообразную, график которой проходит через точку $$A(1;2)$$.

1. Найдем первообразную функции $$f(x)$$. Первообразная $$F(x)$$ функции $$f(x) = 2x^2 + x$$ находится интегрированием:

$$F(x) = \int (2x^2 + x) dx = 2 \int x^2 dx + \int x dx = 2 \cdot \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C = \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + C$$

2. Используем точку $$A(1;2)$$, чтобы найти значение константы $$C$$.

Подставим координаты точки $$A(1;2)$$ в уравнение первообразной:

$$2 = \frac{2}{3}(1)^3 + \frac{1}{2}(1)^2 + C$$ $$2 = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} + C$$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$$2 = \frac{4}{6} + \frac{3}{6} + C$$ $$2 = \frac{7}{6} + C$$

Выразим $$C$$:

$$C = 2 - \frac{7}{6} = \frac{12}{6} - \frac{7}{6} = \frac{5}{6}$$

3. Запишем окончательное уравнение первообразной:

$$F(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{6}$$

Ответ: $$F(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{6}$$