№3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) параболой у=(x+1)2, прямыми х-2 и х= 1 и осью Ох.

№3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) параболой $$y = (x+1)^2$$, прямыми $$x = -2$$ и $$x = 1$$ и осью Ox.

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции $$y = f(x)$$, осью Ox и прямыми $$x = a$$ и $$x = b$$, вычисляется по формуле:

$$S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx$$

В данном случае $$f(x) = (x+1)^2$$, $$a = -2$$, $$b = 1$$. Так как $$(x+1)^2 \geq 0$$ на отрезке $$[-2; 1]$$, то модуль можно опустить.

Интегрируем функцию:

$$S = \int_{-2}^{1} (x+1)^2 dx = \int_{-2}^{1} (x^2 + 2x + 1) dx = \frac{x^3}{3} + x^2 + x \Big|_{-2}^{1}$$

Вычисляем значения:

$$= (\frac{1^3}{3} + 1^2 + 1) - (\frac{(-2)^3}{3} + (-2)^2 + (-2)) = (\frac{1}{3} + 1 + 1) - (\frac{-8}{3} + 4 - 2) = \frac{1}{3} + 2 + \frac{8}{3} - 2 = \frac{9}{3} = 3$$

Ответ: $$S = 3$$