№4. Две окружности имеют общий центр. Через точку А большей окружности провели касательные АВ и АС к меньшей окружности. Найдите радиус меньшей окружности, если радиус большой окружности равен 8см, а ∠BAC=60°.

Решение:

• Пусть \( O \) – общий центр окружностей, \( R \) – радиус большей окружности, \( r \) – радиус меньшей окружности.
• Так как \( AB \) и \( AC \) – касательные к меньшей окружности, то \( OB \perp AB \) и \( OC \perp AC \).
• \( \angle BAC = 60^\circ \), следовательно, \( \angle BAO = \angle CAO = 30^\circ \) (так как \( AO \) – биссектриса угла \( BAC \)).
• Рассмотрим прямоугольный треугольник \( ABO \). В нём \( \sin(\angle BAO) = \frac{OB}{OA} \).
• Значит, \( \sin(30^\circ) = \frac{r}{R} \), где \( r \) – радиус меньшей окружности, \( R = 8 \) см – радиус большей окружности.
• \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \), тогда \( \frac{1}{2} = \frac{r}{8} \).
• Отсюда \( r = \frac{8}{2} = 4 \) см.

Ответ: 4 см