Решение:

1. Сначала упростим числитель, используя свойство степени в степени: $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$ $$(2^3)^5 = 2^{3 \cdot 5} = 2^{15}$$
2. Запишем числитель: $$2^{15} \cdot 2^6$$ При умножении степеней с одинаковым основанием, показатели складываются: $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$ $$2^{15} \cdot 2^6 = 2^{15 + 6} = 2^{21}$$
3. Упростим знаменатель: $$(2^8)^2 = 2^{8 \cdot 2} = 2^{16}$$
4. Теперь поделим числитель на знаменатель: $$\frac{2^{21}}{2^{16}}$$ При делении степеней с одинаковым основанием, из показателя числителя вычитается показатель знаменателя: $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$ $$\frac{2^{21}}{2^{16}} = 2^{21 - 16} = 2^5$$
5. Вычислим значение степени: $$2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$$

Ответ: 32