№6. Из точки А вне прямой т проведены три наклонные: АВ, АС и AD. Основания наклонных В, С, D лежат на прямой т. Если АВ = 10 см, АС = 12 см и AD = 8 см, а расстояние от В до перпендикуляра больше, чем от С, а от D меньше. Сравните длины проекций этих наклонных на прямую m.

Пусть AH - перпендикуляр к прямой m. Тогда BH > CH и DH < CH.

Рассмотрим прямоугольные треугольники ABH, ACH и ADH.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (теорема Пифагора):

$$AH^2 + BH^2 = AB^2$$

$$AH^2 + CH^2 = AC^2$$

$$AH^2 + DH^2 = AD^2$$

Выразим квадраты проекций:

$$BH^2 = AB^2 - AH^2 = 10^2 - AH^2 = 100 - AH^2$$

$$CH^2 = AC^2 - AH^2 = 12^2 - AH^2 = 144 - AH^2$$

$$DH^2 = AD^2 - AH^2 = 8^2 - AH^2 = 64 - AH^2$$

Так как BH > CH, то $$100 - AH^2 > 144 - AH^2$$. Это неверно, т.к. 100 < 144. Следовательно, условие BH > CH не выполняется, и АВ не может быть равно 10 см, АС не может быть равно 12 см.

Так как DH < CH, то $$64 - AH^2 < 144 - AH^2$$. Это верно, т.к. 64 < 144.

По условию BH > CH, DH < CH, то есть DH < CH < BH. Значит, DH < BH.

$$DH^2 < BH^2$$

$$64 - AH^2 < 100 - AH^2$$

Известно, что AD = 8 см, АВ = 10 см. Тогда AH > 0.

Сравнить проекции можно только в случае, если DH < BH, то есть при AD = 8 см, АВ = 10 см.

Ответ: DH < BH, сравнить проекции CH невозможно, т.к. условие задачи не выполняется.