№3. На рис 1 прямая AC касается окружности с центром O в точке A. Найдите \(\angle BAC\), если \(\angle AOB = 108^\circ\).

Так как AC - касательная к окружности с центром O в точке A, то радиус OA перпендикулярен касательной AC. Следовательно, \(\angle OAC = 90^\circ\). Рассмотрим треугольник \(\triangle AOB\). Так как OA = OB (радиусы окружности), то треугольник \(\triangle AOB\) равнобедренный с основанием AB. Значит, \(\angle OAB = \angle OBA\). Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, поэтому: \(\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^\circ\) \(2 \cdot \angle OAB + 108^\circ = 180^\circ\) \(2 \cdot \angle OAB = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ\) \(\angle OAB = \frac{72^\circ}{2} = 36^\circ\) Теперь найдем \(\angle BAC\): \(\angle BAC = \angle OAC - \angle OAB = 90^\circ - 36^\circ = 54^\circ\) Ответ: \(\angle BAC = 54^\circ\)