№4. На рисунке AB=BC, CD=DK, угол ABC=37°, угол BAC=106°. Найдите угол DKC.

Рассмотрим треугольник ABC. Так как AB = BC, то треугольник ABC равнобедренный с основанием AC. Следовательно, \( \angle BAC = \angle BCA = 106^\circ \).
Сумма углов треугольника равна 180°.
\( \angle ABC + \angle BAC + \angle BCA = 180^\circ \)
Однако, \(37^\circ + 106^\circ + 106^\circ = 249^\circ > 180^\circ\), что противоречит условию. Вероятно, \( \angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - 37^\circ)/2 = 71.5^\circ\).

Рассмотрим треугольник CDK. Так как CD = DK, то треугольник CDK равнобедренный с основанием CK. Следовательно, \( \angle DCK = \angle DKC \).

Сумма углов треугольника CDK равна 180°:
\( \angle CDK + \angle DCK + \angle DKC = 180^\circ \)

Чтобы найти угол CDK, заметим, что углы BCA и DCK смежные, поэтому \( \angle DCK = 180^\circ - \angle BCA \).
\( \angle BCA = 71.5^\circ \). Тогда \( \angle ACD + \angle ACB = \angle BCD \).

Теперь найдем угол DKC:

\( \angle CDK + 2 \cdot \angle DKC = 180^\circ \)

\( \angle CDK = 180 - \angle ABC - \angle BAC = 180 - 37 - 106 = 37^\circ \)
\( \angle DCK = \angle DKC = (180 - \angle CDK) / 2 \)

Явно, \(ABC\) и \(CDK\) - подобные треугольники, значит, \( \angle DKC = 106^\circ \).

Ответ: \( \angle DKC = 106^\circ \)