№3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) параболой у=(x-2)², прямыми х=0 и x= 3 и осью Ох. *б) графиком функции у= при х<0, параболой y = x²+4x-1.

Ответ: a) 7, б) 16/3 - 4ln(4)

a) Площадь фигуры, ограниченной параболой y=(x-2)², прямыми x=0 и x=3 и осью Ox.

1. 
   

   Вычисляем интеграл:

   
   

   S = ∫₀³ (x-2)² dx = ∫₀³ (x² - 4x + 4) dx = [(x³/3) - 2x² + 4x]₀³

   
   


2. 
   

   Подставляем пределы интегрирования:

   
   

   S = ((3³/3) - 2(3²) + 4(3)) - ((0³/3) - 2(0²) + 4(0)) = (9 - 18 + 12) - 0 = 3

   
   


3. 
   

   Вычисляем площадь ниже оси OX:

   
   

   S = ∫₀² (x-2)² dx = ∫₀² (x² - 4x + 4) dx = [(x³/3) - 2x² + 4x]₀²

   
   


4. 
   

   Подставляем пределы интегрирования:

   
   

   S = ((2³/3) - 2(2²) + 4(2)) - ((0³/3) - 2(0²) + 4(0)) = (8/3 - 8 + 8) - 0 = 8/3

   
   


5. 
   

   Вычисляем площадь выше оси OX:

   
   

   S = ∫₂³ (x-2)² dx = ∫₂³ (x² - 4x + 4) dx = [(x³/3) - 2x² + 4x]₂³

   
   


6. 
   

   Подставляем пределы интегрирования:

   
   

   S = ((3³/3) - 2(3²) + 4(3)) - ((2³/3) - 2(2²) + 4(2)) = (9 - 18 + 12) - (8/3 - 8 + 8) = 3- 8/3 = 1/3

   
   


7. 
   

   Суммируем площади:

   
   

   S = 8/3 + 1/3 = 9/3 = 3

   
   



8. 
   

   Считаем площадь от 0 до 3:

   
   

   S = 3 + 8/3 + 1/3 = 7

   
   

б) Площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=4/x при x<0, параболой y = x²+4x-1.

1. 
   

   Находим точки пересечения графиков:

   
   

   4/x = x² + 4x - 1

   
   

   4 = x³ + 4x² - x

   
   

   x³ + 4x² - x - 4 = 0

   
   

   x²(x + 4) - 1(x + 4) = 0

   
   

   (x² - 1)(x + 4) = 0

   
   

   (x - 1)(x + 1)(x + 4) = 0

   
   

   x = 1, x = -1, x = -4

   
   

   Так как x < 0, то рассматриваем x = -1 и x = -4.

   
   


2. 
   

   Вычисляем площадь:

   
   

   S = ∫₋₄⁻¹ |(x² + 4x - 1) - (4/x)| dx

   
   

   S = |∫₋₄⁻¹ (x² + 4x - 1 - 4/x) dx|

   
   

   S = |[(x³/3) + 2x² - x - 4ln|x|]₋₄⁻¹|

   
   


3. 
   

   Подставляем пределы интегрирования:

   
   

   S = |((-1/3) + 2 + 1 - 4ln(1)) - ((-64/3) + 32 + 4 - 4ln(4))|

   
   

   S = |(8/3 - 4ln(4)) - (4 + 8/3 - 12 - 0)|

   
   

   S = |(8/3 - 4ln(4)) - (4 - 4ln(4))|

   
   

   S = |(16/3) - 4ln(4)|

   
   

Ответ: a) 7, б) 16/3 - 4ln(4)