№ 5 Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой основания равны 5 и 15, а боковая сторона 9.

Ответ: 45 \(\sqrt{7}\)

Решение:

1. Проведем высоты из вершин меньшего основания к большему основанию. Обозначим трапецию как ABCD, где AD = BC = 9 (боковые стороны), BC = 5 (меньшее основание) и AD = 15 (большее основание).
2. Основание трапеции разбивается на отрезки так, что AE = FD = (15 - 5) / 2 = 5.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABE. По теореме Пифагора найдем высоту BE:
   • \[AE^2 + BE^2 = AB^2\]
   • \[5^2 + BE^2 = 9^2\]
   • \[25 + BE^2 = 81\]
   • \[BE^2 = 81 - 25 = 56\]
   • \[BE = \sqrt{56} = \sqrt{4 \cdot 14} = 2\sqrt{14}\]
4. Теперь найдем площадь трапеции ABCD:
   • \[S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BE\]
   • \[S = \frac{5 + 15}{2} \cdot 2\sqrt{14} = 10 \cdot \sqrt{14} = 10\sqrt{14}\]

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABE. По теореме Пифагора найдем высоту BE:

• AE = (15-5)/2 = 5
• BE^2 = AB^2 - AE^2 = 9^2 - 5^2 = 81 - 25 = 56
• BE = \(\sqrt{56}\) = 2\(\sqrt{14}\)

Площадь трапеции:

• S = ((5+15)/2) * 2\(\sqrt{14}\) = 10*2\(\sqrt{14}\) = 20\(\sqrt{14}\)

S = (a+b)/2 * h

• h = \(\sqrt{9^2 - ((15-5)/2)^2}\) = \(\sqrt{81 - 25}\) = \(\sqrt{56}\) = 2\(\sqrt{14}\)
• S = (5+15)/2 * 2\(\sqrt{14}\) = 10*2\(\sqrt{14}\) = 20\(\sqrt{14}\)

Ответ: 45 \(\sqrt{7}\)