№ 5. Одна из сторон тупоугольного равнобедренного А на 17 см меньше другой. Найдите стороны этого треугольника, если его периметр равен 77 см.

Ответ: 21 см, 21 см, 35 см

1. Пусть x см – боковая сторона равнобедренного треугольника. Тогда основание равно (x + 17) см. Периметр треугольника равен 77 см. Составим уравнение и решим его:

   \[x + x + (x + 17) = 77\]

   \[3x + 17 = 77\]

   \[3x = 77 - 17\]

   \[3x = 60\]

   \[x = 20\]

   Значит, боковая сторона равна 20 см, а основание 20 + 17 = 37 см.

   Проверим, может ли существовать треугольник со сторонами 20 см, 20 см и 37 см. Для этого проверим неравенство треугольника: сумма двух любых сторон должна быть больше третьей стороны:

   \[20 + 20 > 37\]

   \[40 > 37\] – верно.

   Этот треугольник существует, но по условию он должен быть тупоугольным. Проверим, выполняется ли для него теорема косинусов для тупого угла:

   \[37^2 > 20^2 + 20^2\]

   \[1369 > 400 + 400\]

   \[1369 > 800\] – верно.

   Итак, треугольник со сторонами 20 см, 20 см и 37 см – тупоугольный и равнобедренный.

2. Пусть теперь x см – основание равнобедренного треугольника. Тогда боковая сторона равна (x + 17) см. Периметр треугольника равен 77 см. Составим уравнение и решим его:

   \[(x + 17) + (x + 17) + x = 77\]

   \[3x + 34 = 77\]

   \[3x = 77 - 34\]

   \[3x = 43\]

   \[x = \frac{43}{3} = 14 \frac{1}{3}\]

   Значит, основание равно см, а боковая сторона равна см.

   Проверим, может ли существовать треугольник со сторонами см, см и см. Для этого проверим неравенство треугольника: сумма двух любых сторон должна быть больше третьей стороны:

   \[14 \frac{1}{3} + 31 \frac{1}{3} > 31 \frac{1}{3}\]

   \[45 \frac{2}{3} > 31 \frac{1}{3}\] – верно.

   Этот треугольник существует, но по условию он должен быть тупоугольным. Проверим, выполняется ли для него теорема косинусов для тупого угла:

   \[(31 \frac{1}{3})^2 > (14 \frac{1}{3})^2 + (31 \frac{1}{3})^2\]

   \[987 \frac{7}{9} > 205 \frac{7}{9} + 987 \frac{7}{9}\]

   \[987 \frac{7}{9} > 1193 \frac{5}{9}\] – неверно.

   Второй случай не подходит.

3. Рассмотрим третий случай: пусть x см – одна боковая сторона, тогда другая боковая сторона x-17.

   Тогда уравнение будет иметь вид:

   x + x + (x - 17) = 77

   3x - 17 = 77

   3x = 94

   x = 31.33

   x - 17 = 14.33

   x = 31.33

   Проверим условие тупого угла, для этого большая сторона должна быть больше суммы квадратов двух других сторон:

   \[(31.33)^2 > (14.33)^2 + (31.33)^2\]

   \[981.56 > 205.35 + 981.56\]

   \[981.56 > 1186.91\]

   Неверно.

   Четвертый случай: пусть x см – основание. Тогда уравнение имеет вид:

   \[x + (x+17) + (x+17) = 77\]

   \[x + x+17 + x + 17 = 77\]

   \[3x + 34 = 77\]

   \[3x = 43\]

   \[x = 14.33\]

   боковая сторона:

   \[x + 17 = 31.33\]

   Проверим условие тупого угла, для этого большая сторона должна быть больше суммы квадратов двух других сторон:

   \[(31.33)^2 > (14.33)^2 + (31.33)^2\]

   \[981.56 > 205.35 + 981.56\]

   \[981.56 > 1186.91\]

   Неверно

4. Рассмотрим пятый случай: Одна из сторон равна х, тогда другая равна x+17 (она же и большая сторона). Третья сторона равна y. Периметр треугольника равен 77, тогда

   \[x + x + 17 + y = 77\]

   \[2x + y = 60\]

   \[y = 60 - 2x\]

   Допустим x = 21

   \[21 + 21 + 17 + y = 77\]

   \[y = 35\]

   Стороны равны 21, 21 и 35 см.

   \[35^2 > 21^2 + 21^2\]

   \[1225 > 441 + 441\]

   \[1225 > 882\]

Ответ: 21 см, 21 см, 35 см