№2. OM = 18. ∠NMK - ?

Решение: Отрезки касательных, проведенные из одной точки к окружности, равны. Значит, MN = MK. Δ MNK - равнобедренный. ON ⊥ NM и OK ⊥ KM (радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной). Δ OMN = Δ OMK (по трем сторонам: OM - общая, ON = OK как радиусы, MN = MK как отрезки касательных). Значит, ∠NMO = ∠KMO. Пусть ∠NMO = x, тогда ∠NMK = 2x. В четырехугольнике ONMK: ∠ONM + ∠OKM + ∠NMK + ∠NOK = 360°. 90° + 90° + 2x + ∠NOK = 360°. 2x + ∠NOK = 180°. Рассмотрим Δ ONK. Он равнобедренный (ON = OK - радиусы). Значит, ∠ONK = ∠OKN. ∠NOK = 180° - 2 * ∠ONK. Но это не приводит к решению. Так как касательные, проведенные из точки M к окружности, равны, то MO - биссектриса угла ∠NMK. Следовательно, ∠NMO = ∠KMO. Также известно, что ON = OK (радиусы). Значит, ΔONM = ΔOKM по катету и гипотенузе (ON = OK, OM - общая). Следовательно, ∠NOM = ∠KOM. Пусть ∠NMK = α. Тогда ∠NMO = α/2. В прямоугольном треугольнике ONM: ∠ONM = 90°, OM = 18, ON = 9. sin(∠NMO) = ON / OM = 9 / 18 = 1/2. Следовательно, ∠NMO = 30°. ∠NMK = 2 * ∠NMO = 2 * 30° = 60°. Ответ: ∠NMK = 60°.