№7 Расстояние от дома до дачи 100 км. Двигаясь с постоянной скоростью без пробок, семья добирается до дачи на 3 часа быстрее, чем двигаясь с постоянной скоростью в пробке. Какова скорость дачников по дороге без пробок, если по дороге с пробками на 75 км/ч меньше, чем по дороге без пробок.

Пусть (v) – скорость без пробок (км/ч), а (t) – время в пути без пробок (ч). Тогда скорость с пробками будет (v - 75) км/ч, а время в пути с пробками – (t + 3) ч. Расстояние в обоих случаях одинаковое и равно 100 км. Получаем систему уравнений: 1) (v \cdot t = 100) 2) ((v - 75)(t + 3) = 100) Раскроем скобки во втором уравнении: (vt + 3v - 75t - 225 = 100) Так как (vt = 100), то уравнение упрощается: (100 + 3v - 75t - 225 = 100) (3v - 75t = 225) Разделим уравнение на 3: (v - 25t = 75) Выразим (v) через (t): (v = 25t + 75) Подставим это выражение в первое уравнение (v \cdot t = 100): ((25t + 75)t = 100) (25t^2 + 75t = 100) Разделим уравнение на 25: (t^2 + 3t = 4) (t^2 + 3t - 4 = 0) Решим квадратное уравнение через дискриминант: (D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25) (t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1) (t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4) (не подходит, так как время не может быть отрицательным) Итак, (t = 1) час. Теперь найдем скорость (v): (v = 25t + 75 = 25(1) + 75 = 25 + 75 = 100) км/ч. Ответ: 100 км/ч