№5. sin λ = 3. Найдите cos λ и tg λ.

Решение:

Дано: sin λ = \(\frac{3}{4}\)

Найти: cos λ и tg λ

Основное тригонометрическое тождество:

\[\sin^2 λ + \cos^2 λ = 1\]

Подставим известное значение sin λ:

\[\left(\frac{3}{4}\right)^2 + \cos^2 λ = 1\] \[\frac{9}{16} + \cos^2 λ = 1\]

Выразим \(\cos^2 λ\):

\[\cos^2 λ = 1 - \frac{9}{16}\] \[\cos^2 λ = \frac{16}{16} - \frac{9}{16}\] \[\cos^2 λ = \frac{7}{16}\]

Теперь найдем cos λ, извлекая квадратный корень из обеих частей:

\[\cos λ = \sqrt{\frac{7}{16}}\] \[\cos λ = \frac{\sqrt{7}}{4}\]

Теперь найдем tg λ, используя формулу:

\[\tan λ = \frac{\sin λ}{\cos λ}\]

Подставим известные значения sin λ и cos λ:

\[\tan λ = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{7}}{4}}\] \[\tan λ = \frac{3}{4} \times \frac{4}{\sqrt{7}}\] \[\tan λ = \frac{3}{\sqrt{7}}\]

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

\[\tan λ = \frac{3}{\sqrt{7}} \times \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}\] \[\tan λ = \frac{3\sqrt{7}}{7}\]