№3. В параллелограмме ABCD биссектриса угла A, равного 60°, пересекает сторону BC в точке M. Отрезки АM и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если AB = 5.

Решение:

Пусть ABCD — параллелограмм, AM — биссектриса угла A, ∠A = 60°, AM ⊥ DM, AB = 5. Нужно найти периметр параллелограмма ABCD.

Шаг 1: Определим углы

Так как AM — биссектриса угла A, то ∠BAM = ∠MAD = 60°/2 = 30°.

Так как AM ⊥ DM, то ∠AMD = 90°.

Шаг 2: Рассмотрим треугольник AMD

В треугольнике AMD: ∠MAD + ∠MDA + ∠AMD = 180°.

30° + ∠MDA + 90° = 180°.

∠MDA = 180° - 90° - 30° = 60°.

Шаг 3: Найдем углы параллелограмма

∠A = 60°, значит, ∠C = 60° (противоположные углы параллелограмма равны).

∠B = ∠D = (360° - 60° - 60°)/2 = 240°/2 = 120°.

Шаг 4: Рассмотрим треугольник ABM

∠BAM = 30°, ∠B = 120°, значит, ∠AMB = 180° - 120° - 30° = 30°.

Следовательно, треугольник ABM — равнобедренный (AB = BM).

BM = AB = 5.

Шаг 5: Найдем сторону BC

Так как AM — биссектриса и ABM равнобедренный, то BM = MC. Значит, BC = 2 * BM = 2 * 5 = 10.

Шаг 6: Найдем периметр параллелограмма

Периметр P = 2 * (AB + BC) = 2 * (5 + 10) = 2 * 15 = 30.

Ответ: Периметр параллелограмма ABCD равен 30.