№1. В треугольнике АВС угол C равен 90°, СН — высота, AB = 45, sin A = 2/3. Найдите длину отрезка ВН.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90°, и CH является высотой, мы можем использовать следующие соотношения для нахождения длины отрезка BH.

• Синус угла A (sin A) равен отношению противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB).
• Используя sin A = 2/3 и AB = 45, можем найти BC.

Шаг 1: Найдем длину BC

\[\sin A = \frac{BC}{AB}\]

\[\frac{2}{3} = \frac{BC}{45}\]

\[BC = \frac{2}{3} \cdot 45 = 30\]

Шаг 2: Найдем длину AC, используя теорему Пифагора

\[AC^2 + BC^2 = AB^2\]

\[AC^2 = AB^2 - BC^2 = 45^2 - 30^2 = 2025 - 900 = 1125\]

\[AC = \sqrt{1125} = 15\sqrt{5}\]

Шаг 3: Найдем AH через косинус угла A

\[\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{15\sqrt{5}}{45} = \frac{\sqrt{5}}{3}\]

Теперь найдем AH:

\[AH = AC \cdot \cos A = 15\sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = 15 \cdot \frac{5}{3} = 25\]

Шаг 4: Найдем BH, используя соотношение AB = AH + BH

\[BH = AB - AH = 45 - 25 = 20\]

Ответ: Длина отрезка BH равна 20.