№3. В параллелограмме ABCD биссектриса угла А, равного 60°, пересекает сторону ВС в точке М. Отрезки АМ и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если AB = 6.

Т.к. AM - биссектриса, то ∠BAM = ∠MAD = 60°/2 = 30°

Т.к. AM и DM перпендикулярны, то ∠AMD = 90°

∠BMA = 180° - ∠BAM - ∠ABM = 180° - 30° - (180° - 60°) = 30°

Следовательно, треугольник ABM - равнобедренный, AB = BM = 6

Аналогично, ∠CDA = 180° - ∠BAD = 180° - 60° = 120°, ∠MDA = ∠CDA/2 = 60°

∠DMA = 90°, следовательно, ∠MDC = ∠ADC - ∠MDA = 120° - 60° = 30°

Рассмотрим треугольник ADM: ∠MAD = 30°, ∠AMD = 90°, ∠ADM = 60°.

Сумма углов треугольника равна 180°. Т.к. ADM - прямоугольный, то AD = 2 × AM.

Т.к. AD = BM + MC, то MC = 6.

Рассмотрим треугольник CDM: ∠DMC = 180° - (∠MDC + ∠DCM) = 180° - (30° + 60°) = 90°

Треугольник ADM подобен треугольнику MDC (по двум углам)

AD = 2 × DM, MC = DM/2, следовательно, AD = 4 × MC

AD = 4 × 6 = 24

P = 2 × (AB + AD) = 2 × (6 + 24) = 60

Ответ: 60