№5. В равнобедренной трапеции ABCD AD||BC, ∠A = 30°, высота ВК = 1 см, ВС = 2√3 см. Найдите площадь треугольника KMD, если М — середина отрезка BD.

Решение: 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABK. \( \angle A = 30^\circ \), \( BK = 1 \text{ см} \). Тогда, \( AB = \frac{BK}{\sin A} = \frac{1}{\sin 30^\circ} = \frac{1}{0.5} = 2 \text{ см} \). 2. Найдем AK: \( AK = AB \cdot \cos 30^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \text{ см} \). 3. Т.к. трапеция равнобедренная, то \( AD = BC + 2 \cdot AK = 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \text{ см} \). 4. Площадь трапеции \( ABCD \): \( S_{ABCD} = \frac{BC + AD}{2} \cdot BK = \frac{2\sqrt{3} + 4\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = 3\sqrt{3} \text{ см}^2 \). 5. \( M \) - середина \( BD \), значит медиана \( BM \) делит треугольник \( BCD \) на два равновеликих треугольника. Площадь \( \triangle BMD = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{4} \cdot S_{ABCD} \). 6. Площадь треугольника \( BMD = \frac{1}{2} \cdot S_{ABD} \). 7. Площадь треугольника \( BCD = \frac{1}{2} \cdot S_{ABCD} \). 8. Площадь треугольника \( KMD = \frac{1}{2} S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \cdot ( \frac{1}{2}AD \cdot BK) = \frac{1}{4} AD \cdot BK = \frac{1}{4} 4\sqrt{3} \cdot 1 = \sqrt{3} \text{ см}^2 \). Ответ: Площадь треугольника KMD равна \( \sqrt{3} \) квадратных сантиметров.