№5. В треугольнике АВС известно, что ∠ C=90°, ∠ A=60°. На катете ВС отметили точку К такую, что АКС=60°. Найдите отрезок СК, если ВК=12 см.

Ответ: СК = 4\( \sqrt{3} \) см

Решение:

• В треугольнике ABC, ∠C = 90°, ∠A = 60°. Следовательно, ∠B = 180° - 90° - 60° = 30°.
• В треугольнике AKC, ∠AKC = 60°, ∠C = 90°. Следовательно, ∠KAC = 180° - 90° - 60° = 30°.
• Рассмотрим треугольник ABK. ∠BAK = ∠BAC - ∠KAC = 60° - 30° = 30°.
• Треугольник ABK является равнобедренным, так как ∠BAK = ∠ABK = 30°. Следовательно, AK = BK = 12 см.
• В треугольнике AKC: AK = 12 см, ∠AKC = 60°, ∠C = 90°.
• Используем тангенс угла AKC: \(\tan(60°) = \frac{CK}{AK}\)
• \(CK = AK \cdot \tan(60°) = 12 \cdot \sqrt{3} = 4 \sqrt{3}\) см.

Ответ: СК = 4\( \sqrt{3} \) см