№1. В треугольнике АВС угол C равен 90°, СН — высота, AB = 45, sin A = \frac{2}{3}. Найдите длину отрезка ВН.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC синус угла A равен отношению противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB):

\[\sin A = \frac{BC}{AB}\]

Тогда BC можно найти как:

\[BC = AB \cdot \sin A = 45 \cdot \frac{2}{3} = 30\]

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нем:

\[\cos A = \frac{AH}{AB}\]

Из основного тригонометрического тождества:

\[\sin^2 A + \cos^2 A = 1\]

Находим cos A:

\[\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}\]

Теперь находим AH:

\[AH = AB \cdot \cos A = 45 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = 15\sqrt{5}\]

Чтобы найти BH, рассмотрим прямоугольный треугольник CBH:

\[BH = AB - AH = 45 - 15\sqrt{5}\]

Ответ: BH = \(45 - 15\sqrt{5}\)