№5. В треугольнике MNP MN = 10 см, МР = 8 см, NP =6 см. Найти площадь треугольника MNP и высоту РК, проведенную к стороне MN.

Сначала заметим, что треугольник MNP является прямоугольным, так как выполняется теорема Пифагора: $$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$$. То есть, $$NP^2 + MP^2 = MN^2$$.

Поскольку треугольник прямоугольный, его площадь можно найти как половину произведения катетов:

$$S = \frac{1}{2} * NP * MP = \frac{1}{2} * 6 * 8 = 24 \text{ см}^2$$

Теперь найдем высоту PK, проведенную к гипотенузе MN. Площадь треугольника также можно выразить как половину произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней:

$$S = \frac{1}{2} * MN * PK$$

Мы знаем площадь и длину гипотенузы, поэтому можем найти высоту PK:

$$24 = \frac{1}{2} * 10 * PK$$

$$PK = \frac{2 * 24}{10} = \frac{48}{10} = 4.8 \text{ см}$$

Ответ: Площадь треугольника MNP равна 24 $$см^2$$, высота PK равна 4.8 см.