02.49. Упростите выражения: а) $c^2-cd+d^2-\frac{c^3-d^3}{c+d}$; б) $\frac{a^3-b^3}{a^2-ab+b^2}-a-b$; в) $\frac{m^3+n^3}{m-n}-m^2-mn-n^2$; г) $\frac{x^3+y^3}{x^2+xy+y^2}+x-y$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 02.49. Упростите выражения: а) $c^2-cd+d^2-\frac{c^3-d^3}{c+d}$; б) $\frac{a^3-b^3}{a^2-ab+b^2}-a-b$; в)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) $c^3-d^3=(c-d)(c^2+cd+d^2)$. Тогда
$c^2-cd+d^2-\frac{(c-d)(c^2+cd+d^2)}{c+d}=c^2-cd+d^2-(c^2-2cd+d^2)=cd$.
б) По формуле разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$, поэтому
$\frac{a^3-b^3}{a^2-ab+b^2}-a-b=\frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{a^2-ab+b^2}-a-b$.
В данном выражении числитель при разложении не содержит множитель знаменателя $a^2-ab+b^2$, поэтому сокращение невозможно. Объединим слагаемые в одну дробь:
$\frac{a^3-b^3-(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a^2-ab+b^2}=\frac{-a^3+a^2b-ab^2-2b^3}{a^2-ab+b^2}$.
в) $m^3+n^3=(m+n)(m^2-mn+n^2)$, откуда
$\frac{m^3+n^3}{m-n}-m^2-mn-n^2=\frac{(m+n)(m^2-mn+n^2)-(m^2+mn+n^2)(m-n)}{m-n}$.
Раскрывая скобки в числителе, получаем $2n^3$, значит выражение равно $\frac{2n^3}{m-n}$.
г) $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$, а $(x+y)(x^2-xy+y^2)=(x-y)(x^2+xy+y^2)+2y^3$. Следовательно,
$\frac{x^3+y^3}{x^2+xy+y^2}+x-y=x-y+\frac{2y^3}{x^2+xy+y^2}+x-y=2(x-y)+\frac{2y^3}{x^2+xy+y^2}$.

Ответ: а) $cd$; б) $\frac{-a^3+a^2b-ab^2-2b^3}{a^2-ab+b^2}$; в) $\frac{2n^3}{m-n}$; г) $2(x-y)+\frac{2y^3}{x^2+xy+y^2}$.

02.49. Упростите выражения: а) \(c^2-cd+d^2-\frac{c^3-d^3}{c+d}\); б) \(\frac{a^3-b^3}{a^2-ab+b^2}-a-b\); в) \(\frac{m^3+n^3}{m-n}-m^2-mn-n^2\); г) \(\frac{x^3+y^3}{x^2+xy+y^2}+x-y\).