02.50. Упростите выражения: а) $\frac{m^2-2mn+4n^2}{m-2n}+\frac{m^2+2mn+4n^2}{m+2n}$; б) $\frac{4l^2+6lk+9k^2}{2l+3k}+\frac{4l^2-6lk+9k^2}{2l-3k}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 02.50. Упростите выражения: а) $\frac{m^2-2mn+4n^2}{m-2n}+\frac{m^2+2mn+4n^2}{m+2n}$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Заметим формулы суммы и разности кубов:
$m^3+8n^3=(m+2n)(m^2-2mn+4n^2)$, $m^3-8n^3=(m-2n)(m^2+2mn+4n^2)$.
Поэтому дроби равны $\frac{m^3+8n^3}{m^2-4n^2}$ и $\frac{m^3-8n^3}{m^2-4n^2}$. Складываем:
$\frac{2m^3}{m^2-4n^2}$.
б) В числителях применим разности квадратов: $(2l+3k)^2=4l^2+12lk+9k^2$, поэтому первый числитель не является квадратом этого знаменателя; аналогично для второго. Складываем дроби с общим знаменателем $(2l+3k)(2l-3k)=4l^2-9k^2$:
$\frac{(4l^2+6lk+9k^2)(2l-3k)+(4l^2-6lk+9k^2)(2l+3k)}{4l^2-9k^2}$.
Раскрывая скобки, числитель равен $16l^3+54lk^2$. Следовательно, результат $\frac{2l(8l^2+27k^2)}{4l^2-9k^2}$.

Ответ: а) $\frac{2m^3}{m^2-4n^2}$; б) $\frac{2l(8l^2+27k^2)}{4l^2-9k^2}$.

Ограничения: в пункте а) $m\ne2n$ и $m\ne-2n$; в пункте б) $2l+3k\ne0$ и $2l-3k\ne0$.

02.50. Упростите выражения: а) \(\frac{m^2-2mn+4n^2}{m-2n}+\frac{m^2+2mn+4n^2}{m+2n}\); б) \(\frac{4l^2+6lk+9k^2}{2l+3k}+\frac{4l^2-6lk+9k^2}{2l-3k}\).