02. Высота конуса равна 5 см. На расстоянии 2 см от вершины его пересекает плоскость, параллельная основанию. Найдите объем исходного конуса, если объем меньшего конуса, отсекаемого от исходного, равен 24 см³.

Решение:

Пусть \( H \) — высота исходного конуса, \( V \) — его объем. Пусть \( h \) — высота меньшего конуса, \( v \) — его объем.

По условию \( H = 5 \) см, \( v = 24 \) см³.

Плоскость пересекает конус на расстоянии 2 см от вершины, значит, высота меньшего конуса \( h = 2 \) см.

Отношение объемов подобных конусов равно кубу коэффициента подобия. Коэффициент подобия \( k = \frac{h}{H} = \frac{2}{5} \).

\( \frac{v}{V} = k^3 \)

\( \frac{24}{V} = (\frac{2}{5})^3 = \frac{8}{125} \)

\( V = \frac{24 \cdot 125}{8} = 3 \cdot 125 = 375 \) см³.

Ответ: \( 375 \) см³