• Радиусы оснований усеченного конуса равны 3 м и 6 м, а образующая равна 5 м. Найдите объем усеченного конуса.

Решение:

Пусть \( r_1 \) — радиус большего основания, \( r_2 \) — радиус меньшего основания, \( l \) — образующая усеченного конуса.

По условию \( r_1 = 6 \) м, \( r_2 = 3 \) м, \( l = 5 \) м.

Формула объема усеченного конуса: \( V = \frac{1}{3}\pi h (r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2) \), где \( h \) — высота усеченного конуса.

Высоту \( h \) найдём по теореме Пифагора, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный высотой, разностью радиусов и образующей:

\( h^2 + (r_1 - r_2)^2 = l^2 \)

\( h^2 + (6 - 3)^2 = 5^2 \)

\( h^2 + 3^2 = 5^2 \)

\( h^2 + 9 = 25 \)

\( h^2 = 25 - 9 = 16 \)

\( h = 4 \) м (так как высота положительна).

Теперь подставим значения \( h, r_1, r_2 \) в формулу объема:

\( V = \frac{1}{3}\pi 4 (6^2 + 6 3 + 3^2) \)

\( V = \frac{4}{3}\pi (36 + 18 + 9) \)

\( V = \frac{4}{3}\pi (63) \)

\( V = 4 21 \pi = 84\pi \) м³.

Ответ: \( 84\pi \) м³