03. Найдите объем конуса, если площадь его основания равна Q, а площадь боковой поверхности равна P.

Решение:

Площадь основания конуса \( Q = \pi r^2 \).

Площадь боковой поверхности конуса \( P = \pi r l \), где \( l \) — образующая.

Объем конуса \( V = \frac{1}{3} Q h \), где \( h \) — высота конуса.

Из площади основания найдём радиус: \( r = \sqrt{\frac{Q}{\pi}} \).

Из площади боковой поверхности выразим образующую: \( l = \frac{P}{\pi r} = \frac{P}{\pi \sqrt{\frac{Q}{\pi}}} = \frac{P}{\sqrt{\pi Q}} \).

Высоту конуса найдём по теореме Пифагора: \( h = \sqrt{l^2 - r^2} \).

\( h = \sqrt{\left(\frac{P}{\sqrt{\pi Q}}\right)^2 - \left(\sqrt{\frac{Q}{\pi}}\right)^2} = \sqrt{\frac{P^2}{\pi Q} - \frac{Q}{\pi}} = \sqrt{\frac{P^2 - Q^2}{\pi Q}} \).

Теперь найдём объем:

\( V = \frac{1}{3} Q h = \frac{1}{3} Q \sqrt{\frac{P^2 - Q^2}{\pi Q}} = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{Q^2 (P^2 - Q^2)}{\pi Q}} = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{Q (P^2 - Q^2)}{\pi}} \).

Ответ: \( \frac{1}{3} \sqrt{\frac{Q (P^2 - Q^2)}{\pi}} \).