021.7. Вычислите интегралы: а) $\int_{\pi/2}^{\pi}\sin x\,dx$; б) $\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\frac{dx}{\cos^2 x}$; в) $\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos x\,dx$; г) $\int_{\pi/4}^{\pi/2}\frac{dx}{\sin^2 x}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 021.7. Вычислите интегралы: а) $\int_{\pi/2}^{\pi}\sin x\,dx$; б) $\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\frac{dx}{\cos^2 x}$; в)…$ Фото задания

021.7. Вычислите интегралы: а) $\int_{\pi/2}^{\pi}\sin x\,dx$; б) $\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\frac{dx}{\cos^2 x}$; в) $\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos x\,dx$; г) $\int_{\pi/4}^{\pi/2}\frac{dx}{\sin^2 x}$.

Accepted Answer

Используем первообразные: $\int\sin x\,dx=-\cos x$, $\int\frac{dx}{\cos^2x}=\tan x$, $\int\cos x\,dx=\sin x$, $\int\frac{dx}{\sin^2x}=-\cot x$.

а) $\left[-\cos x\right]_{\pi/2}^{\pi}=1-0=1$.
б) $\left[\tan x\right]_{-\pi/4}^{\pi/4}=1-(-1)=2$.
в) $\left[\sin x\right]_{-\pi/2}^{\pi/2}=1-(-1)=2$.
г) $\left[-\cot x\right]_{\pi/4}^{\pi/2}=0-(-1)=1$.

Ответ: а) 1; б) 2; в) 2; г) 1.

021.7. Вычислите интегралы: а) \(\int_{\pi/2}^{\pi}\sin x\,dx\); б) \(\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\frac{dx}{\cos^2 x}\); в) \(\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos x\,dx\); г) \(\int_{\pi/4}^{\pi/2}\frac{dx}{\sin^2 x}\).

Ответ: