021.8. Вычислите интегралы: а) $\int_{\pi/4}^{\pi/3}\cos 2x\,dx$; б) $\int_0^{\pi/3}\frac{5}{\sin^2(x+\pi/3)}\,dx$; в) $\int_{\pi/2}^{\pi}2\sin\frac{x}{3}\,dx$; г) $\int_{\pi/4}^{\pi/3}\frac{7}{\cos^2 3x}\,dx$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 021.8. Вычислите интегралы: а) $\int_{\pi/4}^{\pi/3}\cos 2x\,dx$; б) $\int_0^{\pi/3}\frac{5}{\sin^2(x+\pi/3)}\,dx$; в)…$ Фото задания

021.8. Вычислите интегралы: а) $\int_{\pi/4}^{\pi/3}\cos 2x\,dx$; б) $\int_0^{\pi/3}\frac{5}{\sin^2(x+\pi/3)}\,dx$; в) $\int_{\pi/2}^{\pi}2\sin\frac{x}{3}\,dx$; г) $\int_{\pi/4}^{\pi/3}\frac{7}{\cos^2 3x}\,dx$.

Accepted Answer

а) Первообразная равна $\frac12\sin 2x$:
$\left[\frac12\sin 2x\right]_{\pi/4}^{\pi/3}=\frac{\sqrt3}{4}-\frac12=\frac{\sqrt3-2}{4}$.
б) Первообразная равна $-5\cot(x+\pi/3)$:
$\left[-5\cot(x+\pi/3)\right]_0^{\pi/3}=5\cot\frac{\pi}{3}-5\cot\frac{2\pi}{3}=\frac{10}{\sqrt3}=\frac{10\sqrt3}{3}$.
в) Первообразная равна $-6\cos(x/3)$:
$\left[-6\cos\frac{x}{3}\right]_{\pi/2}^{\pi}=3(\sqrt3-1)$.
г) Первообразная равна $\frac73\tan 3x$:
$\left[\frac73\tan 3x\right]_{\pi/4}^{\pi/3}=\frac73(0-(-1))=\frac73$.

Ответ: а) $\frac{\sqrt3-2}{4}$; б) $\frac{10\sqrt3}{3}$; в) $3(\sqrt3-1)$; г) $\frac73$.

021.8. Вычислите интегралы: а) \(\int_{\pi/4}^{\pi/3}\cos 2x\,dx\); б) \(\int_0^{\pi/3}\frac{5}{\sin^2(x+\pi/3)}\,dx\); в) \(\int_{\pi/2}^{\pi}2\sin\frac{x}{3}\,dx\); г) \(\int_{\pi/4}^{\pi/3}\frac{7}{\cos^2 3x}\,dx\).

Ответ: