021.9. Вычислите интегралы: а) $\int_0^{\pi/2}\sin 2x\cos 3x\,dx$; б) $\int_{\pi/4}^{\pi}\cos^2\frac{x}{2}\,dx$; в) $\int_0^{\pi/8}\cos 7x\cos 5x\,dx$; г) $\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2 3x\,dx$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 021.9. Вычислите интегралы: а) $\int_0^{\pi/2}\sin 2x\cos 3x\,dx$; б) $\int_{\pi/4}^{\pi}\cos^2\frac{x}{2}\,dx$; в)…$ Фото задания

021.9. Вычислите интегралы: а) $\int_0^{\pi/2}\sin 2x\cos 3x\,dx$; б) $\int_{\pi/4}^{\pi}\cos^2\frac{x}{2}\,dx$; в) $\int_0^{\pi/8}\cos 7x\cos 5x\,dx$; г) $\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2 3x\,dx$.

Accepted Answer

а) По формуле произведения в сумму, $\sin 2x\cos 3x=\frac12(\sin 5x-\sin x)$. Поэтому
$\int_0^{\pi/2}\sin 2x\cos 3x\,dx=\left[-\frac{\cos 5x}{10}+\frac{\cos x}{2}\right]_0^{\pi/2}=-\frac25$.
б) Используем $\cos^2(x/2)=\frac{1+\cos x}{2}$:
$\int_{\pi/4}^{\pi}\cos^2\frac{x}{2}\,dx=\left[\frac{x}{2}+\frac{\sin x}{2}\right]_{\pi/4}^{\pi}=\frac{3\pi}{8}-\frac{\sqrt2}{4}$.
в) По формуле произведения в сумму, $\cos 7x\cos 5x=\frac12(\cos 2x+\cos 12x)$. Тогда
$\int_0^{\pi/8}\cos 7x\cos 5x\,dx=\left[\frac14\sin 2x+\frac1{24}\sin 12x\right]_0^{\pi/8}=\frac{\sqrt2}{8}-\frac1{24}=\frac{3\sqrt2-1}{24}$.
г) Используем $\sin^2 3x=\frac{1-\cos 6x}{2}$:
$\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2 3x\,dx=\left[\frac{x}{2}-\frac{\sin 6x}{12}\right]_{-\pi}^{\pi}=\pi$.

Ответ: а) $-\frac25$; б) $\frac{3\pi}{8}-\frac{\sqrt2}{4}$; в) $\frac{3\sqrt2-1}{24}$; г) $\pi$.

021.9. Вычислите интегралы: а) \(\int_0^{\pi/2}\sin 2x\cos 3x\,dx\); б) \(\int_{\pi/4}^{\pi}\cos^2\frac{x}{2}\,dx\); в) \(\int_0^{\pi/8}\cos 7x\cos 5x\,dx\); г) \(\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2 3x\,dx\).

Ответ: