05.15. Решите уравнение: а) |x + 4| = 2x; б) |x − 14| = 8 + 2x; в) |x² − 4x| = 3x; г) |x² + 7x| = 4x + 10.

а) Правая часть должна быть неотрицательной, поэтому \(x\geq 0\). Тогда \(x+4>0\), и уравнение принимает вид \(x+4=2x\). Получаем \(x=4\), что условию \(x\geq0\) удовлетворяет.

б) Рассмотрим случаи.

1. Если \(x\geq14\), то \(x-14=8+2x\), откуда \(x=-22\), что не удовлетворяет условию случая.
2. Если \(x<14\), то \(14-x=8+2x\), откуда \(x=2\). Это значение допустимо.

в) Правая часть неотрицательна, поэтому \(x\geq0\). Если \(0\leq x\leq4\), то \(|x^2-4x|=4x-x^2\). Уравнение \(4x-x^2=3x\) даёт \(x(1-x)=0\), откуда \(x=0\) или \(x=1\). Если \(x\geq4\), то \(x^2-4x=3x\), значит, \(x(x-7)=0\); подходящее этому случаю значение — \(x=7\).

г) Правая часть должна быть неотрицательной, то есть \(x\geq-\frac52\). При \(-\frac52\leq x<0\) выражение \(x^2+7x\) отрицательно, поэтому \(-x^2-7x=4x+10\). Получаем \(x^2+11x+10=0\), откуда \(x=-1\) или \(x=-10\); подходит только \(-1\). При \(x\geq0\) выражение \(x^2+7x\) неотрицательно: \(x^2+7x=4x+10\), откуда \(x^2+3x-10=0\), то есть \((x+5)(x-2)=0\). Подходит \(x=2\).

Ответ: а) 4; б) 2; в) 0, 1, 7; г) −1, 2.