1.034. Плоскость α проходит через вершину P тетраэдра PABC и точки M ∈ AB и K ∈ BC. Постройте сечение тетраэдра плоскостью α. Плоскость β пересекает рёбра PA, PB и PC соответственно в точках D, E и F. Постройте сечение тетраэдра плоскостью β и укажите отрезок прямой пересечения плоскостей α и β, лежащий внутри тетраэдра.

Плоскость α проходит через P и отрезок MK, лежащий в грани ABC. На гранях PAB и PBC её следы — соответственно PM и PK. Поэтому сечение плоскостью α — треугольник PMK.

Плоскость β пересекает грани PAB, PBC и PCA по отрезкам DE, EF и FD. Следовательно, сечение плоскостью β — треугольник DEF.

Обозначим X = PM ∩ DE и Y = PK ∩ EF. Точки X и Y принадлежат обеим плоскостям; они лежат внутри соответствующих граней. Поэтому отрезок XY — часть линии пересечения α и β, лежащая внутри тетраэдра.

При построении M, K, D, E, F взяты внутри соответствующих рёбер.

На рисунке сплошная заливка показывает сечение PMK, штриховая — сечение DEF; отрезок XY выделен толстой линией.