1.049. ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб. Постройте его сечение плоскостью α = (PMK), если: а) точки P, M и K принадлежат соответственно рёбрам BB₁, CC₁ и DD₁ так, что BP : PB₁ = 1 : 3, CM : MC₁ = 3 : 1, DK : KD₁ = 3 : 2; б) точки M, P и K — середины рёбер соответственно AB, BC и DD₁.

а) Плоскость пересекает три вертикальных ребра BB₁, CC₁ и DD₁ в заданных точках P, M и K. На каждой боковой грани соединяем точки пересечения прямым отрезком. Других пересечений с рёбрами куба нет, поэтому сечение — треугольник PMK.

б) На нижней грани плоскость проходит через середины AB и BC. На гранях, прилегающих к рёбрам AA₁ и CC₁, она пересекает эти рёбра в точках Q и R; на DD₁ пересечение — заданная точка K. Получается пятиугольник MPRKQ, где Q и R — середины AA₁ и CC₁.

Например, при координатах A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0) уравнение плоскости: x − y + 3z = 1/2. На рёбрах AA₁ и CC₁ оно даёт z = 1/6, что подтверждает положение Q и R.