1. (1 балл) Две стороны треугольника равны 7 см и 24 см, а угол между ними 30°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь

Для решения этой задачи применим теорему косинусов для нахождения третьей стороны треугольника.

Пусть стороны треугольника равны a = 7 см, b = 24 см, а угол между ними γ = 30°.

По теореме косинусов, квадрат третьей стороны c равен:

\( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab · \cos(\gamma) \)

Подставим значения:

\( c^2 = 7^2 + 24^2 - 2 · 7 · 24 · \cos(30^{\circ}) \)

\( c^2 = 49 + 576 - 336 · \frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( c^2 = 625 - 168\sqrt{3} \)

\( c = \sqrt{625 - 168\sqrt{3}} \)

\( c \approx \sqrt{625 - 168 · 1.732} \approx \sqrt{625 - 290.976} \approx \sqrt{334.024} \approx 18.28 \) см

Площадь треугольника (S) найдем по формуле:

\( S = \frac{1}{2} ab · \sin(\gamma) \)

Подставим значения:

\( S = \frac{1}{2} · 7 · 24 · \sin(30^{\circ}) \)

\( S = \frac{1}{2} · 7 · 24 · \frac{1}{2} \)

\( S = 7 · 12 · \frac{1}{2} \)

\( S = 84 · \frac{1}{2} \)

\( S = 42 \) см²

Ответ: Третья сторона треугольника приблизительно равна 18.28 см, а его площадь равна 42 см².