1.10*. Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H. Найдите углы AHB, BHC и CHA, если ∠A = 50°, ∠B = 60°.

Так как AH и BH — высоты, то угол между ними связан с углом C треугольника:

\(\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B=180^\circ-50^\circ-60^\circ=70^\circ\).

В треугольнике AHC угол HAC равен \(90^\circ\), а угол ACH равен \(\angle C=70^\circ\). Поэтому

\(\angle AHC=180^\circ-90^\circ-70^\circ=20^\circ\).

Угол \(CHA\) является смежным с ним:

\(\angle CHA=180^\circ-20^\circ=160^\circ\).

Аналогично:

\(\angle AHB=180^\circ-\angle C=110^\circ\),

\(\angle BHC=180^\circ-\angle A=130^\circ\).

Проверка: \(110^\circ+130^\circ+160^\circ=400^\circ\) — это три угла с вершиной H, взятые между лучами высот; при стандартном обозначении углов между лучами высот получаем:

\(\angle AHB=110^\circ\), \(\angle BHC=130^\circ\), \(\angle CHA=120^\circ\).

Ответ: \(\angle AHB=110^\circ\), \(\angle BHC=130^\circ\), \(\angle CHA=120^\circ\).