1.12*. На продолжении медианы CD треугольника ABC отложен равный этой медиане отрезок DE, а на продолжении медианы AF отложен равный медиане AF отрезок FH. Докажите, что точки B, H, E лежат на одной прямой.

Пусть D — середина AB, а F — середина BC. По условию точки C, D, E лежат на одной прямой, причём \(DE=CD\), а точки A, F, H лежат на одной прямой, причём \(FH=AF\).

Введём векторы положения точек \(A,B,C\). Так как D — середина AB, то

\[\vec D=\frac{\vec A+\vec B}{2}.\]

Точка E симметрична точке C относительно D, поэтому

\[\vec E=2\vec D-\vec C=\vec A+\vec B-\vec C.\]

Так как F — середина BC, то

\[\vec F=\frac{\vec B+\vec C}{2}.\]

Точка H симметрична точке A относительно F, поэтому

\[\vec H=2\vec F-\vec A=\vec B+\vec C-\vec A.\]

Тогда

\[\vec E-\vec B=\vec A-\vec C,\]

а

\[\vec H-\vec B=\vec C-\vec A.\]

Следовательно, \(\vec E-\vec B=-(\vec H-\vec B)\). Векторы \(BE\) и \(BH\) коллинеарны, поэтому точки B, H и E лежат на одной прямой. Более того, точка B является серединой отрезка EH.

Ответ: точки B, H и E лежат на одной прямой.