1.17 В треугольнике АВС АС = ВС, АВ = 10, АН – высота, ВН = 9. Найдите косинус угла ВАС.

Решение:

В треугольнике ABC AC = BC, значит, он равнобедренный. AB = 10.

AH — высота. BH = 9.

Так как треугольник равнобедренный, высота AH является также медианой и биссектрисой. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит, \( \angle BAC = \angle ABC \).

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике AHB:

\[ AH^2 + BH^2 = AB^2 \]

\[ AH^2 + 9^2 = 10^2 \]

\[ AH^2 + 81 = 100 \]

\[ AH^2 = 100 - 81 = 19 \]

\[ AH = \sqrt{19} \]

В прямоугольном треугольнике AHB:

\[ \cos(\angle BAH) = \frac{AH}{AB} = \frac{\sqrt{19}}{10} \]

Так как \( \angle BAC = \angle ABC \) и \( AH \) — биссектриса \( \angle BAC \), то \( \angle BAH = \angle BAC \).

\( \cos(\angle BAC) = \frac{\sqrt{19}}{10} \).

Ответ: \( \frac{\sqrt{19}}{10} \).