1.175. Есептеңдер: 1) \(\sqrt{15+2\sqrt{26}}\cdot\sqrt{4+\sqrt{1+2\sqrt{26}}}\cdot\sqrt{4-\sqrt{1+2\sqrt{26}}}\); 2) \(\sqrt{\frac{11+\sqrt{21}}{11-\sqrt{21}}}+\sqrt{\frac{11-\sqrt{21}}{11+\sqrt{21}}}\).

1) Алдымен көбейтіндідегі соңғы екі түбірді біріктірейік:

\(\sqrt{4+\sqrt{1+2\sqrt{26}}}\cdot\sqrt{4-\sqrt{1+2\sqrt{26}}}=\sqrt{16-(1+2\sqrt{26})}=\sqrt{15-2\sqrt{26}}.\)

Сонда

\(\sqrt{15+2\sqrt{26}}\cdot\sqrt{15-2\sqrt{26}}=\sqrt{225-4\cdot26}=\sqrt{121}=11.\)

2) Белгілейік: \(x=\sqrt{\frac{11+\sqrt{21}}{11-\sqrt{21}}}\). Екінші түбір \(1/x\)-ке тең, сондықтан ізделінді қосынды \(x+1/x\).

\(x^2+\frac1{x^2}=\frac{11+\sqrt{21}}{11-\sqrt{21}}+\frac{11-\sqrt{21}}{11+\sqrt{21}}=\frac{2(121+21)}{121-21}=\frac{142}{50}=\frac{71}{25}.\)

Олай болса, \((x+1/x)^2=\frac{71}{25}+2=\frac{121}{25}\). Қосынды оң болғандықтан, \(x+1/x=\frac{11}{5}\).

Жауабы: 1) 11; 2) \(\frac{11}{5}\).