1.176. Өрнекті ықшамдаңдар: 1) $\frac{5}{4+\sqrt{11}}+\frac{8}{\sqrt{19}-\sqrt{11}}-\frac{10}{\sqrt{19}+3}$; 2) $\frac1{\sqrt2+1}+\frac1{\sqrt3+\sqrt2}+\frac1{\sqrt4+\sqrt3}+\cdots+\frac1{\sqrt{100}+\sqrt{99}}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1.176. Өрнекті ықшамдаңдар: 1) $\frac{5}{4+\sqrt{11}}+\frac{8}{\sqrt{19}-\sqrt{11}}-\frac{10}{\sqrt{19}+3}$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

1) Бөлімдерді иррационалдықтан арылтамыз:

$\frac5{4+\sqrt{11}}=\frac{5(\sqrt{11}-4)}{11-16}=4-\sqrt{11}.$

$\frac8{\sqrt{19}-\sqrt{11}}=\frac{8(\sqrt{19}+\sqrt{11})}{19-11}=\sqrt{19}+\sqrt{11}.$

$\frac{10}{\sqrt{19}+3}=\frac{10(\sqrt{19}-3)}{19-9}=\sqrt{19}-3.$

Оларды өрнекке қойсақ: $4-\sqrt{11}+\sqrt{19}+\sqrt{11}-(\sqrt{19}-3)=7.$

2) Әр бөлшекті түбірлер айырымына айналдырамыз:

$\frac1{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}=\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{(k+1)-k}=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}.$

Сонда қосынды телескопиялық болады:

$(\sqrt2-1)+(\sqrt3-\sqrt2)+\cdots+(\sqrt{100}-\sqrt{99})=\sqrt{100}-1=9.$

Жауабы: 1) 7; 2) 9.

1.176. Өрнекті ықшамдаңдар: 1) \(\frac{5}{4+\sqrt{11}}+\frac{8}{\sqrt{19}-\sqrt{11}}-\frac{10}{\sqrt{19}+3}\); 2) \(\frac1{\sqrt2+1}+\frac1{\sqrt3+\sqrt2}+\frac1{\sqrt4+\sqrt3}+\cdots+\frac1{\sqrt{100}+\sqrt{99}}\).