1.177. $a=\frac12\left(m+\frac1m\right),\quad b=\frac12\left(n+\frac1n\right)$ деп алып, 1) $ab-\sqrt{a^2-1}\cdot\sqrt{b^2-1}$; 2) $ab+\sqrt{a^2-1}\cdot\sqrt{b^2-1}$ өрнектерін түрлендіріңдер.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1.177. $a=\frac12\left(m+\frac1m\right),\quad b=\frac12\left(n+\frac1n\right)$ деп алып, 1)…$ Фото задания

1.177. $a=\frac12\left(m+\frac1m\right),\quad b=\frac12\left(n+\frac1n\right)$ деп алып, 1) $ab-\sqrt{a^2-1}\cdot\sqrt{b^2-1}$; 2) $ab+\sqrt{a^2-1}\cdot\sqrt{b^2-1}$ өрнектерін түрлендіріңдер.

Accepted Answer

Берілгендерден:

$a^2-1=\frac14\left(m+\frac1m\right)^2-1=\frac14\left(m-\frac1m\right)^2,\quad b^2-1=\frac14\left(n-\frac1n\right)^2.$

Сондықтан, нақты мәндерде, $\sqrt{a^2-1}=\frac12\left|m-\frac1m\right|$, ал $\sqrt{b^2-1}=\frac12\left|n-\frac1n\right|$. Сондай-ақ $ab=\frac14\left(m+\frac1m\right)\left(n+\frac1n\right)$.

1) Ортақ көбейткіштерді ашып, ықшамдаймыз:

$ab-\sqrt{a^2-1}\sqrt{b^2-1}=\frac14\left[\left(m+\frac1m\right)\left(n+\frac1n\right)-\left|m-\frac1m\right|\left|n-\frac1n\right|\right].$

Егер оқулықта $m,n\ge1$ деп ұйғарылса, модульдер ашылады да, нәтиже $\frac12\left(\frac mn+\frac nm\right)$ болады.

2) Дәл осылай:

$ab+\sqrt{a^2-1}\sqrt{b^2-1}=\frac14\left[\left(m+\frac1m\right)\left(n+\frac1n\right)+\left|m-\frac1m\right|\left|n-\frac1n\right|\right].$

Егер $m,n\ge1$ болса, бұл $\frac12\left(mn+\frac1{mn}\right)$-ге тең.

Суретте $m,n$-нің таңбасы не модулі туралы шектеу көрінбейді; сондықтан жалпы нақты жағдайдағы дәл түрлендіру модульдерімен берілді.

1.177. \(a=\frac12\left(m+\frac1m\right),\quad b=\frac12\left(n+\frac1n\right)\) деп алып, 1) \(ab-\sqrt{a^2-1}\cdot\sqrt{b^2-1}\); 2) \(ab+\sqrt{a^2-1}\cdot\sqrt{b^2-1}\) өрнектерін түрлендіріңдер.

Ответ: