1.3. Решите уравнения: 1) $\frac{C_{x+1}^{x-1}}{C_x^{x-3}}=\frac45$; 2) $\frac{A_{k+1}^4P_{k-4}}{P_{k-1}}=15$; 3) $C_{x+1}^{x-4}=\frac7{15}A_{x+1}^3$; 4) $C_x^{x-3}+C_x^{x-4}=11C_{x+1}^2$; 5) $A_{2k}^3=100A_k^2$; 6) $C_k^3:C_k^5=2:3$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1.3. Решите уравнения: 1) $\frac{C_{x+1}^{x-1}}{C_x^{x-3}}=\frac45$; 2) $\frac{A_{k+1}^4P_{k-4}}{P_{k-1}}=15$; 3)…$ Фото задания

1.3. Решите уравнения: 1) $\frac{C_{x+1}^{x-1}}{C_x^{x-3}}=\frac45$; 2) $\frac{A_{k+1}^4P_{k-4}}{P_{k-1}}=15$; 3) $C_{x+1}^{x-4}=\frac7{15}A_{x+1}^3$; 4) $C_x^{x-3}+C_x^{x-4}=11C_{x+1}^2$; 5) $A_{2k}^3=100A_k^2$; 6) $C_k^3:C_k^5=2:3$.

Accepted Answer

Используем $C_n^r=C_n^{n-r}$, $A_n^r=\frac{n!}{(n-r)!}$, $P_n=n!$. Область допустимых значений задаётся натуральными индексами сочетаний и размещений.

$C_{x+1}^{x-1}=\frac{x(x+1)}2$, $C_x^{x-3}=\frac{x(x-1)(x-2)}6$. Поэтому отношение равно $\frac{3(x+1)}{(x-1)(x-2)}=\frac45$. Получаем $20(x+1)=12(x-1)(x-2)$, то есть $3x^2-14x-2=0$. Корни $x=\frac{7\pm\sqrt{55}}3$ не являются натуральными допустимыми значениями. Решений в натуральных числах нет.
$\frac{A_{k+1}^4P_{k-4}}{P_{k-1}}=\frac{(k+1)k(k-1)(k-2)(k-4)!}{(k-1)!}=k+1$. Следовательно, $k+1=15$, откуда $k=14$.
$C_{x+1}^{x-4}=C_{x+1}^5=\frac{(x+1)x(x-1)(x-2)(x-3)}{120}$, а $A_{x+1}^3=(x+1)x(x-1)$. После сокращения уравнение даёт $(x-2)(x-3)=56$, то есть $x^2-5x-50=0$. Корни 10 и −5; условию допустимости удовлетворяет $x=10$.
$C_x^{x-3}=C_x^3$, $C_x^{x-4}=C_x^4$, $C_{x+1}^2=\frac{x(x+1)}2$. Подстановка формул и сокращение даёт $(x-1)(x-2)(x-3)+ (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)/4=33(x+1)$, или $x^4-6x^3-19x^2+144x-240=0$. Проверка допустимых натуральных значений показывает, что корней нет: для $x\ge4$ исходная левая часть не достигает правой (при $x=4$: 5 против 110, далее отношение левой части к правой растёт и становится больше 1 начиная с $x=7$); при $x=3$ выражение не определено. Решений нет.
$A_{2k}^3=2k(2k-1)(2k-2)$, $A_k^2=k(k-1)$. При допустимом $k\ge3$ сокращаем на $k$: $2(2k-1)(2k-2)=100(k-1)$, откуда $4(2k-1)=100$, и $k=13$.
Отношение означает $\frac{C_k^3}{C_k^5}=\frac23$, при $k\ge5$. По формуле сочетаний $\frac{C_k^3}{C_k^5}=\frac{(k-4)(k-3)}{20}=\frac23$. Тогда $3(k-4)(k-3)=40$, то есть $3k^2-21k-4=0$. Дискриминант равен 489, поэтому целого натурального решения нет.

Ответ: 1) решений нет; 2) $k=14$; 3) $x=10$; 4) решений нет; 5) $k=13$; 6) натуральных решений нет.

1.3. Решите уравнения: 1) \(\frac{C_{x+1}^{x-1}}{C_x^{x-3}}=\frac45\); 2) \(\frac{A_{k+1}^4P_{k-4}}{P_{k-1}}=15\); 3) \(C_{x+1}^{x-4}=\frac7{15}A_{x+1}^3\); 4) \(C_x^{x-3}+C_x^{x-4}=11C_{x+1}^2\); 5) \(A_{2k}^3=100A_k^2\); 6) \(C_k^3:C_k^5=2:3\).

Ответ: