1.4.3. Точки M и N — середины сторон AB и CD параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые AN и MC делят диагональ BD на три равные части.

Обозначим через P точку пересечения AN с BD, а через Q — точку пересечения MC с BD.

1. Пусть A — начало координат, а векторы AB и AD равны соответственно b и d. Тогда B = b, D = d, C = b + d.

2. Поскольку N — середина CD, получаем N = (C + D)/2 = b/2 + d. Точка на AN имеет вид t(b/2 + d), а точка на BD — (1 − s)b + sd. Приравнивая коэффициенты при b и d, находим t = s и t/2 = 1 − s, откуда s = 2/3. Значит, BP = 2/3 BD.

3. Поскольку M — середина AB, M = b/2. Точка на MC имеет вид b/2 + u(b/2 + d/2). Приравнивая её к точке (1 − s)b + sd на BD, получаем u/2 = s и 1/2 + u/2 = 1 − s. Отсюда s = 1/3. Значит, BQ = 1/3 BD.

Таким образом, точки пересечения расположены на BD в порядке B, Q, P, D, причём BQ = QP = PD = BD/3.

Что и требовалось доказать.