1.5. Решите неравенство: а) x² − 6x − 7 ≥ 0; б) −x² − 2x + 8 > 0; в) −x² + 6x − 5 < 0; г) x² + 2x − 48 ≤ 0.

а) Найдём корни квадратного трёхчлена: \(x^2-6x-7=0\). Дискриминант: \(D=36+28=64\), поэтому \(x_1=-1\), \(x_2=7\). Ветви параболы направлены вверх, значит трёхчлен неотрицателен вне промежутка между корнями.

Ответ: \(x\in(-\infty;-1]\cup[7;+\infty)\).

б) Умножим неравенство на \(-1\), изменив знак: \(x^2+2x-8<0\). Разложим: \((x+4)(x-2)<0\). Произведение отрицательно между корнями.

Ответ: \(x\in(-4;2)\).

в) Разложим выражение: \(-x^2+6x-5=-(x-1)(x-5)\). Неравенство \(-(x-1)(x-5)<0\) равносильно \((x-1)(x-5)>0\). Произведение положительно вне промежутка между корнями.

Ответ: \(x\in(-\infty;1)\cup(5;+\infty)\).

г) Найдём корни: \(x^2+2x-48=0\), \((x+8)(x-6)=0\), откуда \(x=-8\) и \(x=6\). Ветви параболы направлены вверх, поэтому выражение не превосходит нуля между корнями.

Ответ: \(x\in[-8;6]\).