1.54. Найдите значение выражения: а) \(\frac{15^{10}}{25^4\cdot5^8}\); б) \(\frac{8^6\cdot8^4}{48^3}\); в) \(\frac{100^2\cdot1000^2}{4^6\cdot125^4}\).

а) Представим все числа как степени числа 5:

\[\frac{15^{10}}{25^4\cdot5^8}=\frac{3^{10}\cdot5^{10}}{5^8\cdot5^8}=\frac{3^{10}}{5^6}.\]

При чтении изображения числитель, вероятно, содержит \(5^{10}\), а не \(15^{10}\). Если записано именно \(15^{10}\), значение равно \(\frac{3^{10}}{5^6}=\frac{59049}{15625}\). Если числитель — \(5^{10}\), то результат равен \(\frac{5^{10}}{5^{16}}=\frac1{5^6}=\frac1{15625}\).

б)

\[\frac{8^6\cdot8^4}{48^3}=\frac{8^{10}}{48^3}=\frac{(2^3)^{10}}{(2^4\cdot3)^3}=\frac{2^{30}}{2^{12}\cdot3^3}=\frac{2^{18}}{27}=\frac{262144}{27}.\]

в)

\[\frac{100^2\cdot1000^2}{4^6\cdot125^4}=\frac{(2^2\cdot5^2)^2(2^3\cdot5^3)^2}{(2^2)^6(5^3)^4}=\frac{2^{10}5^{10}}{2^{12}5^{12}}=\frac1{100}.\]

Ответ: а) зависит от неясного показателя/основания числителя; б) \(\frac{262144}{27}\); в) \(\frac1{100}\).